std::legendre, std::legendref, std::legendrel

 

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數學特殊函式

assoc_laguerreassoc_laguerrefassoc_laguerrel assoc_legendreassoc_legendrefassoc_legendrel betabetafbetal comp_ellint_1comp_ellint_1fcomp_ellint_1l comp_ellint_2comp_ellint_2fcomp_ellint_2l comp_ellint_3comp_ellint_3fcomp_ellint_3l cyl_bessel_icyl_bessel_ifcyl_bessel_il

cyl_bessel_jcyl_bessel_jfcyl_bessel_jl cyl_bessel_kcyl_bessel_kfcyl_bessel_kl cyl_neumanncyl_neumannfcyl_neumannl ellint_1ellint_1fellint_1l ellint_2ellint_2fellint_2l ellint_3ellint_3fellint_3l expintexpintfexpintl

hermitehermitefhermitel laguerrelaguerreflaguerrel legendrelegendreflegendrel riemann_zetariemann_zetafriemann_zetal sph_besselsph_besselfsph_bessell sph_legendresph_legendrefsph_legendrel sph_neumannsph_neumannfsph_neumannl

 

double      legendre( unsigned int n, double x ); double      legendre( unsigned int n, float x ); double      legendre( unsigned int n, long double x ); float       legendref( unsigned int n, float x ); long double legendrel( unsigned int n, long double x );	(1)
double      legendre( unsigned int n, IntegralType x );	(2)

1) 計算 n 次和 x 引數的非伴隨 勒讓德多項式。

2) 一組過載函式或函式模板，接受任何整型引數。在將引數轉換為 double 後，等效於 (1)。

與所有特殊函式一樣，只有當實現定義了 __STDCPP_MATH_SPEC_FUNCS__ 的值至少為 201003L 並且使用者在包含任何標準庫標頭檔案之前定義了 __STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__ 時，legendre 才保證在 <cmath> 中可用。

引數

n	-	多項式的次數
x	-	引數，浮點型別或整型值

返回值

如果未發生錯誤，則返回 x 的 n 階非伴隨勒讓德多項式的值，即

1

2n n!

dn

dxn

(x2
- 1)n
。

錯誤處理

錯誤可能按 math_errhandling 中指定的方式報告。

• 如果引數是 NaN，則返回 NaN 且不報告域錯誤。
• 對於 |x| > 1，不要求定義此函式。
• 如果 n 大於或等於 128，則行為是實現定義的。

注意

不支援 TR 29124 但支援 TR 19768 的實現，在標頭檔案 tr1/cmath 和名稱空間 std::tr1 中提供此函式。

此函式的一個實現也在 boost.math 中可用。

前幾個勒讓德多項式為

• legendre(0, x) = 1。
• legendre(1, x) = x。
• legendre(2, x) =

  1

  2

  (3x2
  - 1)。
• legendre(3, x) =

  1

  2

  (5x3
  - 3x)。
• legendre(4, x) =

  1

  8

  (35x4
  - 30x2
  + 3)。

示例

（如 gcc 6.0 所示）

執行此程式碼

#define __STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__ 1
#include <cmath>
#include <iostream>
 
double P3(double x)
{
    return 0.5 * (5 * std::pow(x, 3) - 3 * x);
}
 
double P4(double x)
{
    return 0.125 * (35 * std::pow(x, 4) - 30 * x * x + 3);
}
 
int main()
{
    // spot-checks
    std::cout << std::legendre(3, 0.25) << '=' << P3(0.25) << '\n'
              << std::legendre(4, 0.25) << '=' << P4(0.25) << '\n';
}

輸出

-0.335938=-0.335938
0.157715=0.157715

參閱

laguerrelaguerreflaguerrel	拉蓋爾多項式 (函式)
hermitehermitefhermitel	埃爾米特多項式 (函式)

外部連結

Weisstein, Eric W. "Legendre Polynomial." 來自 MathWorld — Wolfram Web Resource。