std::legendre, std::legendref, std::legendrel

 

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數值陣列 (valarray)
偽隨機數生成
位操作 (C++20)
因子運算
gcd (C++17)	lcm (C++17)
插值
midpoint (C++20)	lerp (C++20)
飽和算術
add_sat (C++26) sub_sat (C++26) saturate_cast (C++26)	mul_sat (C++26) div_sat (C++26)
通用數值運算
iota (C++11) ranges::iota (C++23) accumulate inner_product adjacent_difference    partial_sum	reduce (C++17) transform_reduce (C++17) inclusive_scan (C++17) exclusive_scan (C++17) transform_inclusive_scan (C++17) transform_exclusive_scan (C++17)

 

數學特殊函式

assoc_laguerreassoc_laguerrefassoc_laguerrel   assoc_legendreassoc_legendrefassoc_legendrel betabetafbetal comp_ellint_1comp_ellint_1fcomp_ellint_1l comp_ellint_2comp_ellint_2fcomp_ellint_2l comp_ellint_3comp_ellint_3fcomp_ellint_3l cyl_bessel_icyl_bessel_ifcyl_bessel_il

cyl_bessel_jcyl_bessel_jfcyl_bessel_jl   cyl_bessel_kcyl_bessel_kfcyl_bessel_kl cyl_neumanncyl_neumannfcyl_neumannl ellint_1ellint_1fellint_1l ellint_2ellint_2fellint_2l ellint_3ellint_3fellint_3l expintexpintfexpintl

hermitehermitefhermitel laguerrelaguerreflaguerrel legendrelegendreflegendrel riemann_zetariemann_zetafriemann_zetal sph_besselsph_besselfsph_bessell sph_legendresph_legendrefsph_legendrel sph_neumannsph_neumannfsph_neumannl

 

定義於標頭檔案 <cmath>
	(1)
float       legendre ( unsigned int n, float x ); double      legendre ( unsigned int n, double x ); long double legendre ( unsigned int n, long double x );			(C++17 起) (直至 C++23)
/* 浮點型別 */ legendre( unsigned int n,                                     /* 浮點型別 */ x );			(C++23 起)
float       legendref( unsigned int n, float x );		(2)	(C++17 起)
long double legendrel( unsigned int n, long double x );		(3)	(C++17 起)
附加過載
定義於標頭檔案 <cmath>
template< class Integer > double      legendre ( unsigned int n, Integer x );		(A)	(C++17 起)

1-3) 計算次數為 n、自變數為 x 的非關聯勒讓德多項式。 庫為 std::legendre 提供所有 cv 非限定浮點型別作為引數 x 的型別的過載。(C++23 起)

A) 為所有整數型別提供了額外的過載，它們被視為 double。

引數

n	-	多項式的次數
x	-	變數，浮點或整數值

返回值

如果沒有錯誤發生，則返回 x 的 n 階非關聯勒讓德多項式的值，即 \(\mathsf{P}_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{\mathsf{d}^n}{\mathsf{d}x^n} (x^2-1)^n \)

1

2n n!

dn

dxn

(x2
-1)n
。

錯誤處理

錯誤可能按 math_errhandling 中指定的方式報告。

• 如果引數是 NaN，則返回 NaN，不報告域錯誤
• 函式不要求對 |x|>1 定義
• 如果 n 大於或等於 128，則行為由實現定義

注意

不支援 C++17 但支援 ISO 29124:2010 的實現，若實現將 __STDCPP_MATH_SPEC_FUNCS__ 定義為至少 201003L 且使用者在包含任何標準庫標頭檔案前定義 __STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__，則提供此函式。

不支援 ISO 29124:2010 但支援 TR 19768:2007 (TR1) 的實現，在標頭檔案 tr1/cmath 和名稱空間 std::tr1 中提供此函式。

此函式的一個實現也在 boost.math 中可用。

前幾個勒讓德多項式是：

函式	多項式
legendre(0, x)	1
legendre(1, x)	x
legendre(2, x)	1 2 (3x2 - 1)
legendre(3, x)	1 2 (5x3 - 3x)
legendre(4, x)	1 8 (35x4 - 30x2 + 3)

不要求精確提供 (A) 中所示的額外過載。它們只需足以確保對於整型引數 num，std::legendre(int_num, num) 的效果與 std::legendre(int_num, static_cast<double>(num)) 相同。

示例

執行此程式碼

#include <cmath>
#include <iostream>
 
double P3(double x)
{
    return 0.5 * (5 * std::pow(x, 3) - 3 * x);
}
 
double P4(double x)
{
    return 0.125 * (35 * std::pow(x, 4) - 30 * x * x + 3);
}
 
int main()
{
    // spot-checks
    std::cout << std::legendre(3, 0.25) << '=' << P3(0.25) << '\n'
              << std::legendre(4, 0.25) << '=' << P4(0.25) << '\n';
}

輸出

-0.335938=-0.335938
0.157715=0.157715

參閱

laguerrelaguerreflaguerrel (C++17)(C++17)(C++17)	拉蓋爾多項式 (函式)
hermitehermitefhermitel (C++17)(C++17)(C++17)	埃爾米特多項式 (函式)

外部連結

Weisstein, Eric W. "Legendre Polynomial." From MathWorld — A Wolfram Web Resource.