std::cyl_neumann, std::cyl_neumannf, std::cyl_neumannl

 

C++

編譯器支援

自由（freestanding）與宿主（hosted）

語言

標準庫

標準庫標頭檔案

具名要求

特性測試宏 (C++20)

語言支援庫

概念庫 (C++20)

診斷庫

記憶體管理庫

超程式設計庫 (C++11)

通用工具庫

容器庫

迭代器庫

範圍庫 (C++20)

演算法庫

字串庫

文字處理庫

數值庫

日期和時間庫

輸入/輸出庫

檔案系統庫 (C++17)

併發支援庫 (C++11)

執行控制庫 (C++26)

技術規範

符號索引

外部庫

 

數值庫

常用數學函式
數學特殊函式 (C++17)
數學常數 (C++20)
基本線性代數演算法 (C++26)
資料並行型別 (SIMD) (C++26)
浮點環境 (C++11)
複數
數值陣列 (valarray)
偽隨機數生成
位操作 (C++20)
因子運算
gcd (C++17)	lcm (C++17)
插值
midpoint (C++20)	lerp (C++20)
飽和算術
add_sat (C++26) sub_sat (C++26) saturate_cast (C++26)	mul_sat (C++26) div_sat (C++26)
通用數值運算
iota (C++11) ranges::iota (C++23) accumulate inner_product adjacent_difference    partial_sum	reduce (C++17) transform_reduce (C++17) inclusive_scan (C++17) exclusive_scan (C++17) transform_inclusive_scan (C++17) transform_exclusive_scan (C++17)

 

數學特殊函式

assoc_laguerreassoc_laguerrefassoc_laguerrel   assoc_legendreassoc_legendrefassoc_legendrel betabetafbetal comp_ellint_1comp_ellint_1fcomp_ellint_1l comp_ellint_2comp_ellint_2fcomp_ellint_2l comp_ellint_3comp_ellint_3fcomp_ellint_3l cyl_bessel_icyl_bessel_ifcyl_bessel_il

cyl_bessel_jcyl_bessel_jfcyl_bessel_jl   cyl_bessel_kcyl_bessel_kfcyl_bessel_kl cyl_neumanncyl_neumannfcyl_neumannl ellint_1ellint_1fellint_1l ellint_2ellint_2fellint_2l ellint_3ellint_3fellint_3l expintexpintfexpintl

hermitehermitefhermitel laguerrelaguerreflaguerrel legendrelegendreflegendrel riemann_zetariemann_zetafriemann_zetal sph_besselsph_besselfsph_bessell sph_legendresph_legendrefsph_legendrel sph_neumannsph_neumannfsph_neumannl

 

定義於標頭檔案 <cmath>
	(1)
float       cyl_neumann ( float nu, float x ); double      cyl_neumann ( double nu, double x ); long double cyl_neumann ( long double nu, long double x );			(C++17 起) (直至 C++23)
/* floating-point-type */ cyl_neumann( /* floating-point-type */ nu,                                        /* 浮點型別 */ x );			(C++23 起)
float       cyl_neumannf( float nu, float x );		(2)	(C++17 起)
long double cyl_neumannl( long double nu, long double x );		(3)	(C++17 起)
附加過載
定義於標頭檔案 <cmath>
template< class Arithmetic1, class Arithmetic2 > /* common-floating-point-type */     cyl_neumann( Arithmetic1 nu, Arithmetic2 x );		(A)	(C++17 起)

1-3) 計算 柱面諾依曼函式（也稱為第二類貝塞爾函式或韋伯函式），引數為 nu 和 x。 庫為所有 cv-unqualified 浮點型別提供了 std::cyl_neumann 的過載，作為引數 nu 和 x 的型別。(C++23 起)

A) 為所有其他算術型別組合提供了附加過載。

引數

nu	-	函式的階數
x	-	函式的自變數

返回值

若無錯誤發生，則返回引數為 nu 和 x 的柱面諾依曼函式（第二類貝塞爾函式）的值，即 Nnu(x) =

Jnu(x)cos(nuπ)-J-nu(x)

sin(nuπ)

（其中 Jnu(x) 為 std::cyl_bessel_j(nu, x)），適用於 x≥0 且 nu 為非整數的情況；對於整數 nu 則使用極限。

錯誤處理

錯誤可能按 math_errhandling 中指定的方式報告

• 如果引數是 NaN，則返回 NaN 且不報告域錯誤。
• 如果 nu≥128，則行為是實現定義的。

注意

不支援 C++17 但支援 ISO 29124:2010 的實現，若實現將 __STDCPP_MATH_SPEC_FUNCS__ 定義為至少 201003L 的值，且使用者在包含任何標準庫標頭檔案前定義了 __STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__，則提供此函式。

不支援 ISO 29124:2010 但支援 TR 19768:2007 (TR1) 的實現，在標頭檔案 tr1/cmath 和名稱空間 std::tr1 中提供此函式。

此函式的一個實現也存在於 boost.math 中。

不要求完全按照 (A) 提供額外的過載。它們只需要足以確保對於其第一個引數 num1 和第二個引數 num2

若 num1 或 num2 的型別為 long double，則 std::cyl_neumann(num1, num2) 的效果與 std::cyl_neumann(static_cast<long double>(num1),                  static_cast<long double>(num2)) 相同。 否則，若 num1 和/或 num2 的型別為 double 或整數型別，則 std::cyl_neumann(num1, num2) 的效果與 std::cyl_neumann(static_cast<double>(num1),                  static_cast<double>(num2)) 相同。 否則，若 num1 或 num2 的型別為 float，則 std::cyl_neumann(num1, num2) 的效果與 std::cyl_neumann(static_cast<float>(num1),                  static_cast<float>(num2)) 相同。

(直至 C++23)

若 num1 和 num2 具有算術型別，則 std::cyl_neumann(num1, num2) 的效果與 std::cyl_neumann(static_cast</* common-floating-point-type */>(num1),                  static_cast</* common-floating-point-type */>(num2)) 相同，其中 /* common-floating-point-type */ 是在 num1 和 num2 的型別中，具有最高浮點轉換等級和最高浮點轉換子等級的浮點型別；整數型別的引數被視為與 double 具有相同的浮點轉換等級。 如果不存在具有最高等級和次等級的浮點型別，則過載決議不會從提供的過載中產生可用的候選函式。

(C++23 起)

示例

執行此程式碼

#include <cassert>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <numbers>
 
const double π = std::numbers::pi; // or std::acos(-1) in pre C++20
 
// To calculate the cylindrical Neumann function via cylindrical Bessel function of the
// first kind we have to implement J, because the direct invocation of the
// std::cyl_bessel_j(nu, x), per formula above,
// for negative nu raises 'std::domain_error': Bad argument in __cyl_bessel_j.
 
double J_neg(double nu, double x)
{
    return std::cos(-nu * π) * std::cyl_bessel_j(-nu, x)
          -std::sin(-nu * π) * std::cyl_neumann(-nu, x);
}
 
double J_pos(double nu, double x)
{
    return std::cyl_bessel_j(nu, x);
}
 
double J(double nu, double x)
{
    return nu < 0.0 ? J_neg(nu, x) : J_pos(nu, x);
}
 
int main()
{
    std::cout << "spot checks for nu == 0.5\n" << std::fixed << std::showpos;
    const double nu = 0.5;
    for (double x = 0.0; x <= 2.0; x += 0.333)
    {
        const double n = std::cyl_neumann(nu, x);
        const double j = (J(nu, x) * std::cos(nu * π) - J(-nu, x)) / std::sin(nu * π);
        std::cout << "N_.5(" << x << ") = " << n << ", calculated via J = " << j << '\n';
        assert(n == j);
    }
}

輸出

spot checks for nu == 0.5
N_.5(+0.000000) = -inf, calculated via J = -inf
N_.5(+0.333000) = -1.306713, calculated via J = -1.306713
N_.5(+0.666000) = -0.768760, calculated via J = -0.768760
N_.5(+0.999000) = -0.431986, calculated via J = -0.431986
N_.5(+1.332000) = -0.163524, calculated via J = -0.163524
N_.5(+1.665000) = +0.058165, calculated via J = +0.058165
N_.5(+1.998000) = +0.233876, calculated via J = +0.233876

參閱

cyl_bessel_icyl_bessel_ifcyl_bessel_il (C++17)(C++17)(C++17)	正則修正柱貝塞爾函式 (函式)
cyl_bessel_jcyl_bessel_jfcyl_bessel_jl (C++17)(C++17)(C++17)	柱貝塞爾函式（第一類） (函式)
cyl_bessel_kcyl_bessel_kfcyl_bessel_kl (C++17)(C++17)(C++17)	非正則修正柱貝塞爾函式 (函式)

外部連結

Weisstein, Eric W. "Bessel Function of the Second Kind." 來自 MathWorld — Wolfram Web 資源。