std::assoc_legendre, std::assoc_legendref, std::assoc_legendrel

 

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位操作 (C++20)
因子運算
gcd (C++17)	lcm (C++17)
插值
midpoint (C++20)	lerp (C++20)
飽和算術
add_sat (C++26) sub_sat (C++26) saturate_cast (C++26)	mul_sat (C++26) div_sat (C++26)
通用數值運算
iota (C++11) ranges::iota (C++23) accumulate inner_product adjacent_difference    partial_sum	reduce (C++17) transform_reduce (C++17) inclusive_scan (C++17) exclusive_scan (C++17) transform_inclusive_scan (C++17) transform_exclusive_scan (C++17)

 

數學特殊函式

assoc_laguerreassoc_laguerrefassoc_laguerrel   assoc_legendreassoc_legendrefassoc_legendrel betabetafbetal comp_ellint_1comp_ellint_1fcomp_ellint_1l comp_ellint_2comp_ellint_2fcomp_ellint_2l comp_ellint_3comp_ellint_3fcomp_ellint_3l cyl_bessel_icyl_bessel_ifcyl_bessel_il

cyl_bessel_jcyl_bessel_jfcyl_bessel_jl   cyl_bessel_kcyl_bessel_kfcyl_bessel_kl cyl_neumanncyl_neumannfcyl_neumannl ellint_1ellint_1fellint_1l ellint_2ellint_2fellint_2l ellint_3ellint_3fellint_3l expintexpintfexpintl

hermitehermitefhermitel laguerrelaguerreflaguerrel legendrelegendreflegendrel riemann_zetariemann_zetafriemann_zetal sph_besselsph_besselfsph_bessell sph_legendresph_legendrefsph_legendrel sph_neumannsph_neumannfsph_neumannl

 

定義於標頭檔案 <cmath>
	(1)
float       assoc_legendre ( unsigned int n, unsigned int m, float x ); double      assoc_legendre ( unsigned int n, unsigned int m, double x ); long double assoc_legendre ( unsigned int n, unsigned int m, long double x );			(C++17 起) (直至 C++23)
/* 浮點型別 */ assoc_legendre( unsigned int n, unsigned int m,                                           /* 浮點型別 */ x );			(C++23 起)
float       assoc_legendref( unsigned int n, unsigned int m, float x );		(2)	(C++17 起)
long double assoc_legendrel( unsigned int n, unsigned int m, long double x );		(3)	(C++17 起)
附加過載
定義於標頭檔案 <cmath>
template< class Integer > double      assoc_legendre ( unsigned int n, unsigned int m, Integer x );		(A)	(C++17 起)

1-3) 計算次數為 n、階數為 m、引數為 x 的伴隨勒讓德多項式。 庫為引數 x 的所有 cv 非限定浮點型別提供了 std::assoc_legendre 的過載。(C++23 起)

A) 為所有整數型別提供了額外的過載，它們被視為 double。

引數

n	-	多項式的次數，一個無符號整數值
m	-	多項式的階數，一個無符號整數值
x	-	變數，浮點或整數值

返回值

如果沒有發生錯誤，返回引數 x 的伴隨勒讓德多項式 \(\mathsf{P}_n^m\)Pm
n 的值，即 \((1 - x^2) ^ {m/2} \: \frac{ \mathsf{d} ^ m}{ \mathsf{d}x ^ m} \, \mathsf{P}_n(x)\)(1-x2
)m/2

dm

dxm

Pn(x) （其中 \(\mathsf{P}_n(x)\)Pn(x) 是非伴隨勒讓德多項式 std::legendre(n, x)）。

注意，此定義省略了 Condon-Shortley 相位項 \((-1)^m\)(-1)m
。

錯誤處理

錯誤可能如 math_errhandling 中指定的那樣報告

• 如果引數是 NaN，則返回 NaN，不報告域錯誤
• 如果 |x| > 1，可能會發生域錯誤
• 如果 n 大於或等於 128，則行為是實現定義的

注意

不支援 C++17 但支援 ISO 29124:2010 的實現，如果 __STDCPP_MATH_SPEC_FUNCS__ 被實現定義為至少 201003L 的值，並且使用者在包含任何標準庫標頭檔案之前定義了 __STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__，則提供此函式。

不支援 ISO 29124:2010 但支援 TR 19768:2007 (TR1) 的實現，在標頭檔案 tr1/cmath 和名稱空間 std::tr1 中提供此函式。

此函式的實現也在 boost.math 中可用，名為 boost::math::legendre_p，不同之處在於 boost.math 定義包含 Condon-Shortley 相位項。

前幾個伴隨勒讓德多項式是

函式	多項式
assoc_legendre(0, 0, x)	1
assoc_legendre(1, 0, x)	x
assoc_legendre(1, 1, x)	(1 - x2 )1/2
assoc_legendre(2, 0, x)	1 2 (3x2 - 1)
assoc_legendre(2, 1, x)	3x(1 - x2 )1/2
assoc_legendre(2, 2, x)	3(1 - x2 )

不要求完全按照 (A) 提供額外的過載。它們只需足以確保對於整數型別的引數 num，std::assoc_legendre(int_num1, int_num2, num) 具有與 std::assoc_legendre(int_num1, int_num2, static_cast<double>(num)) 相同的效果。

示例

執行此程式碼

#include <cmath>
#include <iostream>
 
double P20(double x)
{
    return 0.5 * (3 * x * x - 1);
}
 
double P21(double x)
{
    return 3.0 * x * std::sqrt(1 - x * x);
}
 
double P22(double x)
{
    return 3 * (1 - x * x);
}
 
int main()
{
    // spot-checks
    std::cout << std::assoc_legendre(2, 0, 0.5) << '=' << P20(0.5) << '\n'
              << std::assoc_legendre(2, 1, 0.5) << '=' << P21(0.5) << '\n'
              << std::assoc_legendre(2, 2, 0.5) << '=' << P22(0.5) << '\n';
}

輸出

-0.125=-0.125
1.29904=1.29904
2.25=2.25

另請參閱

legendrelegendreflegendrel (C++17)(C++17)(C++17)

勒讓德多項式 (函式)

外部連結

Weisstein, Eric W. "Associated Legendre Polynomial." From MathWorld — A Wolfram Web Resource.