std::sph_legendre, std::sph_legendref, std::sph_legendrel

 

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位操作 (C++20)
因子運算
gcd (C++17)	lcm (C++17)
插值
midpoint (C++20)	lerp (C++20)
飽和算術
add_sat (C++26) sub_sat (C++26) saturate_cast (C++26)	mul_sat (C++26) div_sat (C++26)
通用數值運算
iota (C++11) ranges::iota (C++23) accumulate inner_product adjacent_difference    partial_sum	reduce (C++17) transform_reduce (C++17) inclusive_scan (C++17) exclusive_scan (C++17) transform_inclusive_scan (C++17) transform_exclusive_scan (C++17)

 

數學特殊函式

assoc_laguerreassoc_laguerrefassoc_laguerrel   assoc_legendreassoc_legendrefassoc_legendrel betabetafbetal comp_ellint_1comp_ellint_1fcomp_ellint_1l comp_ellint_2comp_ellint_2fcomp_ellint_2l comp_ellint_3comp_ellint_3fcomp_ellint_3l cyl_bessel_icyl_bessel_ifcyl_bessel_il

cyl_bessel_jcyl_bessel_jfcyl_bessel_jl   cyl_bessel_kcyl_bessel_kfcyl_bessel_kl cyl_neumanncyl_neumannfcyl_neumannl ellint_1ellint_1fellint_1l ellint_2ellint_2fellint_2l ellint_3ellint_3fellint_3l expintexpintfexpintl

hermitehermitefhermitel laguerrelaguerreflaguerrel legendrelegendreflegendrel riemann_zetariemann_zetafriemann_zetal sph_besselsph_besselfsph_bessell sph_legendresph_legendrefsph_legendrel sph_neumannsph_neumannfsph_neumannl

 

定義於標頭檔案 <cmath>
	(1)
float       sph_legendre ( unsigned l, unsigned m, float theta ); double      sph_legendre ( unsigned l, unsigned m, double theta ); long double sph_legendre ( unsigned l, unsigned m, long double theta );			(C++17 起) (直至 C++23)
/* floating-point-type */ sph_legendre( unsigned l, unsigned m,                                         /* floating-point-type */ theta );			(C++23 起)
float       sph_legendref( unsigned l, unsigned m, float theta );		(2)	(C++17 起)
long double sph_legendrel( unsigned l, unsigned m, long double theta );		(3)	(C++17 起)
附加過載
定義於標頭檔案 <cmath>
template< class Integer > double      sph_legendre ( unsigned l, unsigned m, Integer theta );		(A)	(C++17 起)

1-3) 計算次數為 l，階數為 m，極角為 theta 的球面連帶勒讓德函式。 庫為引數 theta 的所有 cv-unqualified 浮點型別提供了 std::sph_legendre 的過載。(C++23 起)

A) 為所有整數型別提供了額外的過載，它們被視為 double。

引數

l	-	次數
m	-	順序
theta	-	以弧度測量的極角

返回值

如果沒有錯誤發生，返回 l、m 和 theta 的球面連帶勒讓德函式（即 ϕ = 0 時的球面調和函式）的值，其中球面調和函式定義為 Ym
l(theta,ϕ) = (-1)m
[

(2l+1)(l-m)!

4π(l+m)!

]1/2
Pm
l(cos(theta))eimϕ
，其中 Pm
l(x) 為 std::assoc_legendre(l, m, x)) 且 |m|≤l。

注意，Condon-Shortley 相位項 (-1)m
包含在此定義中，因為它在 std::assoc_legendre 中 Pm
l 的定義中被省略了。

錯誤處理

錯誤可能按 math_errhandling 中指定的方式報告。

• 如果引數是 NaN，則返回 NaN 且不報告域錯誤。
• 如果 l≥128，則行為是實現定義的。

注意

不支援 C++17 但支援 ISO 29124:2010 的實現，若 __STDCPP_MATH_SPEC_FUNCS__ 被實現定義為至少 201003L 的值，並且使用者在包含任何標準庫標頭檔案之前定義了 __STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__，則會提供此函式。

不支援 ISO 29124:2010 但支援 TR 19768:2007 (TR1) 的實現，在標頭檔案 tr1/cmath 和名稱空間 std::tr1 中提供此函式。

boost.math 中提供了球面調和函式的實現，當呼叫時將引數 phi 設定為零，它會簡化為此函式。

不要求完全按照 (A) 提供額外的過載。它們只需要足以確保對於整數型別的引數 num，std::sph_legendre(int_num1, int_num2, num) 具有與 std::sph_legendre(int_num1, int_num2, static_cast<double>(num)) 相同的效果。

示例

執行此程式碼

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <numbers>
 
int main()
{
    // spot check for l=3, m=0
    double x = 1.2345;
    std::cout << "Y_3^0(" << x << ") = " << std::sph_legendre(3, 0, x) << '\n';
 
    // exact solution
    std::cout << "exact solution = "
              << 0.25 * std::sqrt(7 / std::numbers::pi)
                  * (5 * std::pow(std::cos(x), 3) - 3 * std::cos(x))
              << '\n';
}

輸出

Y_3^0(1.2345) = -0.302387
exact solution = -0.302387

參閱

assoc_legendreassoc_legendrefassoc_legendrel (C++17)(C++17)(C++17)

伴隨勒讓德多項式 (函式)

外部連結

Weisstein, Eric W. "Spherical Harmonic." From MathWorld — A Wolfram Web Resource.