std::beta, std::betaf, std::betal

 

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浮點環境 (C++11)
複數
數值陣列 (valarray)
偽隨機數生成
位操作 (C++20)
因子運算
gcd (C++17)	lcm (C++17)
插值
midpoint (C++20)	lerp (C++20)
飽和算術
add_sat (C++26) sub_sat (C++26) saturate_cast (C++26)	mul_sat (C++26) div_sat (C++26)
通用數值運算
iota (C++11) ranges::iota (C++23) accumulate inner_product adjacent_difference    partial_sum	reduce (C++17) transform_reduce (C++17) inclusive_scan (C++17) exclusive_scan (C++17) transform_inclusive_scan (C++17) transform_exclusive_scan (C++17)

 

數學特殊函式

assoc_laguerreassoc_laguerrefassoc_laguerrel   assoc_legendreassoc_legendrefassoc_legendrel betabetafbetal comp_ellint_1comp_ellint_1fcomp_ellint_1l comp_ellint_2comp_ellint_2fcomp_ellint_2l comp_ellint_3comp_ellint_3fcomp_ellint_3l cyl_bessel_icyl_bessel_ifcyl_bessel_il

cyl_bessel_jcyl_bessel_jfcyl_bessel_jl   cyl_bessel_kcyl_bessel_kfcyl_bessel_kl cyl_neumanncyl_neumannfcyl_neumannl ellint_1ellint_1fellint_1l ellint_2ellint_2fellint_2l ellint_3ellint_3fellint_3l expintexpintfexpintl

hermitehermitefhermitel laguerrelaguerreflaguerrel legendrelegendreflegendrel riemann_zetariemann_zetafriemann_zetal sph_besselsph_besselfsph_bessell sph_legendresph_legendrefsph_legendrel sph_neumannsph_neumannfsph_neumannl

 

定義於標頭檔案 <cmath>
	(1)
float       beta ( float x, float y ); double      beta ( double x, double y ); long double beta ( long double x, long double y );			(C++17 起) (直至 C++23)
/* floating-point-type */ beta( /* floating-point-type */ x,                                 /* floating-point-type */ y );			(C++23 起)
float       betaf( float x, float y );		(2)	(C++17 起)
long double betal( long double x, long double y );		(3)	(C++17 起)
附加過載
定義於標頭檔案 <cmath>
template< class Arithmetic1, class Arithmetic2 > /* common-floating-point-type */ beta( Arithmetic1 x, Arithmetic2 y );		(A)	(C++17 起)

1-3) 計算 x 和 y 的 Beta 函式。庫為所有 cv-unqualified 浮點型別提供了 std::beta 的過載，作為引數 x 和 y 的型別。(C++23 起)

A) 為所有其他算術型別組合提供了附加過載。

引數

x, y

-

浮點數或整數值

返回值

如果沒有錯誤發生，則返回 x 和 y 的 beta 函式值，即 \(\int_{0}^{1}{ {t}^{x-1}{(1-t)}^{y-1}\mathsf{d}t}\)∫1
0tx-1
(1-t)(y-1)
dt，或等價地，\(\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\)

Γ(x)Γ(y)

Γ(x+y)

。

錯誤處理

錯誤可能按 math_errhandling 中指定的方式報告。

• 如果任何引數是 NaN，則返回 NaN，不報告域錯誤。
• 該函式僅要求在 x 和 y 都大於零時定義，否則允許報告域錯誤。

注意

不支援 C++17 但支援 ISO 29124:2010 的實現，如果在包含任何標準庫標頭檔案之前，實現將 __STDCPP_MATH_SPEC_FUNCS__ 定義為至少 201003L 的值，並且使用者定義了 __STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__，則提供此函式。

不支援 ISO 29124:2010 但支援 TR 19768:2007 (TR1) 的實現，在標頭檔案 tr1/cmath 和名稱空間 std::tr1 中提供此函式。

此函式的實現也可以在 boost.math 中找到。

std::beta(x, y) 等於 std::beta(y, x)。

當 x 和 y 為正整數時，std::beta(x, y) 等於 \(\frac{(x-1)!(y-1)!}{(x+y-1)!}\)

(x-1)!(y-1)!

(x+y-1)!

。二項式係數可以用 Beta 函式表示：\(\binom{n}{k} = \frac{1}{(n+1)B(n-k+1,k+1)}\)⎛
⎜
⎝n
k⎞
⎟
⎠=

1

(n+1)Β(n-k+1,k+1)

。

不需要完全按照 (A) 提供額外的過載。它們只需要足以確保對於它們的第一個引數 num1 和第二個引數 num2

如果 num1 或 num2 的型別為 long double，則 std::beta(num1, num2) 的效果與 std::beta(static_cast<long double>(num1),           static_cast<long double>(num2)) 相同。 否則，如果 num1 和/或 num2 的型別為 double 或整數型別，則 std::beta(num1, num2) 的效果與 std::beta(static_cast<double>(num1),           static_cast<double>(num2)) 相同。 否則，如果 num1 或 num2 的型別為 float，則 std::beta(num1, num2) 的效果與 std::beta(static_cast<float>(num1),           static_cast<float>(num2)) 相同。

(直至 C++23)

如果 num1 和 num2 具有算術型別，則 std::beta(num1, num2) 的效果與 std::beta(static_cast</* common-floating-point-type */>(num1),           static_cast</* common-floating-point-type */>(num2)) 相同，其中 /* common-floating-point-type */ 是在 num1 和 num2 的型別之間，具有最大 浮點轉換等級 和最大 浮點轉換子等級 的浮點型別，整數型別引數被視為與 double 具有相同的浮點轉換等級。 如果不存在具有最高等級和次等級的浮點型別，則過載決議不會從提供的過載中產生可用的候選函式。

(C++23 起)

示例

執行此程式碼

#include <cassert>
#include <cmath>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <numbers>
#include <string>
 
long binom_via_beta(int n, int k)
{
    return std::lround(1 / ((n + 1) * std::beta(n - k + 1, k + 1)));
}
 
long binom_via_gamma(int n, int k)
{
    return std::lround(std::tgamma(n + 1) /
                      (std::tgamma(n - k + 1) * 
                       std::tgamma(k + 1)));
}
 
int main()
{
    std::cout << "Pascal's triangle:\n";
    for (int n = 1; n < 10; ++n)
    {
        std::cout << std::string(20 - n * 2, ' ');
        for (int k = 1; k < n; ++k)
        {
            std::cout << std::setw(3) << binom_via_beta(n, k) << ' ';
            assert(binom_via_beta(n, k) == binom_via_gamma(n, k));
        }
        std::cout << '\n';
    }
 
    // A spot-check
    const long double p = 0.123; // a random value in [0, 1]
    const long double q = 1 - p;
    const long double π = std::numbers::pi_v<long double>;
    std::cout << "\n\n" << std::setprecision(19)
              << "β(p,1-p)   = " << std::beta(p, q) << '\n'
              << "π/sin(π*p) = " << π / std::sin(π * p) << '\n';
}

輸出

Pascal's triangle:
 
                  2
                3   3
              4   6   4
            5  10  10   5
          6  15  20  15   6
        7  21  35  35  21   7
      8  28  56  70  56  28   8
    9  36  84 126 126  84  36   9
 
β(p,1-p)   = 8.335989149587307836
π/sin(π*p) = 8.335989149587307834

參閱

tgammatgammaftgammal (C++11)(C++11)(C++11)

伽馬函式 (函式)

外部連結

Weisstein, Eric W. "Beta Function." From MathWorld — A Wolfram Web Resource.