std::assoc_legendre, std::assoc_legendref, std::assoc_legendrel

 

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數學特殊函式

assoc_laguerreassoc_laguerrefassoc_laguerrel assoc_legendreassoc_legendrefassoc_legendrel betabetafbetal comp_ellint_1comp_ellint_1fcomp_ellint_1l comp_ellint_2comp_ellint_2fcomp_ellint_2l comp_ellint_3comp_ellint_3fcomp_ellint_3l cyl_bessel_icyl_bessel_ifcyl_bessel_il

cyl_bessel_jcyl_bessel_jfcyl_bessel_jl cyl_bessel_kcyl_bessel_kfcyl_bessel_kl cyl_neumanncyl_neumannfcyl_neumannl ellint_1ellint_1fellint_1l ellint_2ellint_2fellint_2l ellint_3ellint_3fellint_3l expintexpintfexpintl

hermitehermitefhermitel laguerrelaguerreflaguerrel legendrelegendreflegendrel riemann_zetariemann_zetafriemann_zetal sph_besselsph_besselfsph_bessell sph_legendresph_legendrefsph_legendrel sph_neumannsph_neumannfsph_neumannl

 

double      assoc_legendre( unsigned int n, unsigned int m, double x ); double      assoc_legendre( unsigned int n, unsigned int m, float x ); double      assoc_legendre( unsigned int n, unsigned int m, long double x ); float       assoc_legendref( unsigned int n, unsigned int m, float x ); long double assoc_legendrel( unsigned int n, unsigned int m, long double x );	(1)
double      assoc_legendre( unsigned int n, unsigned int m, IntegralType x );	(2)

1) 計算階為 n、次為 m、變數為 x 的伴隨勒讓德多項式。

2) 一組過載函式或函式模板，接受任何整型引數。在將引數強制轉換為 double 後，等效於 (1)。

與所有特殊函式一樣，僅當實現定義了 __STDCPP_MATH_SPEC_FUNCS__ 的值至少為 201003L 且使用者在包含任何標準庫標頭檔案之前定義了 __STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__ 時，才保證 assoc_legendre 在 <cmath> 中可用。

引數

n	-	多項式的次數，一個無符號整型值
m	-	多項式的階數，一個無符號整數型別的值
x	-	引數，浮點型別或整型值

返回值

如果沒有發生錯誤，則返回 x 的伴隨勒讓德多項式 Pm
n 的值，即 (1 - x2
)m/2

dm

dxm

Pn(x)（其中 Pn(x) 是非伴隨勒讓德多項式，std::legendre(n, x)）。

錯誤處理

錯誤可能按照math_errhandling中指定的方式報告。

• 如果引數是 NaN，則返回 NaN 且不報告域錯誤。
• 如果 |x| > 1，可能會發生域錯誤。
• 如果 n 大於或等於 128，則行為由實現定義。

注意

不支援 TR 29124 但支援 TR 19768 的實現，在標頭檔案 tr1/cmath 和名稱空間 std::tr1 中提供此函式。

此函式的一個實現也在 boost.math 中可用。

前幾個伴隨勒讓德多項式是：

• assoc_legendre(0, 0, x) = 1。
• assoc_legendre(1, 0, x) = x。
• assoc_legendre(1, 1, x) = -(1 - x2
  )1/2
  。
• assoc_legendre(2, 0, x) =

  1

  2

  (3x2
  - 1)。
• assoc_legendre(2, 1, x) = -3x(1 - x2
  )1/2
  。
• assoc_legendre(2, 2, x) = 3(1 - x2
  )。

示例

（如 gcc 6.0 所示）

執行此程式碼

#define __STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__ 1
#include <cmath>
#include <iostream>
 
double P20(double x)
{
    return 0.5 * (3 * x * x - 1);
}
 
double P21(double x)
{
    return -3.0 * x * std::sqrt(1 - x * x);
}
 
double P22(double x)
{
    return 3 * (1 - x * x);
}
 
int main()
{
    // spot-checks
    std::cout << std::assoc_legendre(2, 0, 0.5) << '=' << P20(0.5) << '\n'
              << std::assoc_legendre(2, 1, 0.5) << '=' << P21(0.5) << '\n'
              << std::assoc_legendre(2, 2, 0.5) << '=' << P22(0.5) << '\n';
}

輸出

-0.125=-0.125
-1.29904=-1.29904
2.25=2.25

參閱

legendrelegendreflegendrel

勒讓德多項式 (function)

外部連結

Weisstein, Eric W. "伴隨勒讓德多項式。" 來自 MathWorld——A Wolfram Web Resource。